La fonction inverse \(x \mapsto \displaystyle \frac{1}{x}\) est définie pour tout réel \(x\) différent de 0 (c’est-à-dire sur \(-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[\) , qui s’écrit aussi \(\mathbb{R}^*\) )
La fonction inverse est décroissante ;
Plus \(x\) se rapproche de 0, plus son inverse \(\displaystyle \frac{1}{x}\) prend de grandes valeurs (elles tendent vers \(-\infty\) si \(x\) est négatif et vers \(+\infty\) si \(x\) est positif)
Au contraire, plus \(x\) s’éloigne de 0, plus son inverse \(\displaystyle \frac{1}{x}\) tend vers 0.
La fonction inverse est négative lorsque \(x\) est négatif, et positive lorsque \(x\) est positif.
Quizz
Courbe et asymptotes
La courbe de la fonction inverse \(x \mapsto \displaystyle \frac{1}{x}\) s’appelle une hyperbole.
Elle possède deux asymptotes qui sont les axes du repère (rappel dans la vidéo qui suit, attention elle est en anglais !).
Un exemple d’équation
Résolution de l’équation \(\displaystyle \frac{5-x}{x}-8 > 11\)
Un exemple d’inéquation (rappel de seconde)
Résolution de l’inéquation \(\displaystyle \frac{2-6x}{3x-2}\leq 0\)
Dérivée de la fonction inverse
La dérivée de la fonction \(x \mapsto \displaystyle \frac{1}{x}\) est la fonction \(x \mapsto \displaystyle -\frac{1}{x^2}\).
Cette dérivée est naturellement toujours négative puisque la fonction inverse est décroissante.