Pour un nombre \(b\) positif, on appelle logarithme décimal de \(b\) la solution (unique) de l’équation \(10^x=b\).
Graphiquement, on résout cette équation en traçant la fonction exponentielle de base 10 et en déterminant l’antécédent de \(b\).
Fonction log
Pour tout nombre réel \(x\) , on définit la fonction \( x \mapsto log~x\).
Variations et signe
La fonction \( x \mapsto log~x\) est définie sur \([0;+\infty[\).
Elle est croissante.
Elle est négative pour \( 0 < x < 1 \), elle vaut 0 pour \(x=1\) et elle est positive pour \(x >1\).
Propriétés algébriques
Pour tout nombre \(a\) positif, pour tous nombres \(x\) et \(y\) réels,
- \(log (1)=0\)
- \(log (x \times y)=log (x) + log (y)\)
- \(log \left(\displaystyle \frac{x}{y}\right)=log (x) – log (y)\)
- \(log (x^n)=n \times log (x)\)
Résolutions d’équations et inéquations
Pour tous nombres \(a\) et \(b\) positifs, l’équation \(a^x=b\) a pour solution
\(x=\displaystyle \frac{log~b}{log~a}\)