01 – La clôture
Jean possède une clôture de 75 mètres de long pour protéger ses poules. L’enclos doit être rectangulaire et le plus spacieux possible.
Comment doit-il faire ?
02 – Dans un triangle
$ABC$ est un triangle rectangle en $A$
tel que $AB=6$ cm et $AC=4$ cm.
Où faut-il placer $P$ sur l’hypoténuse pour que la longueur $IJ$ soit la plus petite possible ? Justifier.
03 – Triangle remarquable autour des droites
- Étant données trois droites concourantes $(d_1)$, $(d_2)$ et $(d_3)$, tracer un triangle $ABC$ dont elles sont les hauteurs.
- Étant données trois droites concourantes $(\Delta_1)$, $(\Delta_2)$ et $(\Delta_3)$, tracer un triangle $RST$ dont elles sont les médianes.
04 – Têtes et pattes
Dans la cour d’une ferme, il y a des poules et des lapins. J’ai pu compter 91 têtes et 324 pattes.
Combien y a-t-il de poules et de lapins ?
05 – Vrai spectacle de fauconnerie
Deux faucons sont installés sur des tours distantes de 70 m, l’un à 35 m de hauteur et l’autre à 45 m. Un fauconnier doit les réceptionner au sol entre les deux tours. Les rapaces plongeront en même temps et voleront à la même vitesse en ligne droite.
Où le fauconnier doit-il se placer afin que les oiseaux arrivent au même instant ?
06 – Sous la corde
Une corde non élastique de 101 mètres est attachée au sol entre deux piquets distants de 100 mètres.
En tirant la corde en son milieu et en la levant aussi haut que tu le peux, parviendras-tu à passer en dessous sans te baisser ?
07 – La course à 20
Ratchet propose à Clank de jouer avec lui à la course à 20…
Il commence en écrivant au choix 1 ou 2.
Clank ajoute 1 ou 2 au nombre de Ratchet.
Ratchet, à son tour, ajoute 1 ou 2 au nombre de Clank.
Et ainsi de suite, chacun à tour de rôle !
Ratchet a vite trouvé une stratégie pour gagner à chaque fois.
Trouve et explique à Clank sa stratégie !
08 – Bicarré
Construire sans mesurer deux carrés de sorte que le deuxième ait une aire qui vaut exactement le double de celle du premier.
09 – Sans question, cent questions !
La trajectoire d’une balle dans l’air est donnée par :
$$f(x)=\dfrac{150x – x^2}{145}$$
où $x$ est le temps écoulé depuis le lancer, exprimé en secondes, et $f(x)$ la hauteur de l’objet à l’instant $x$, exprimée en mètres.
10 – Le bidon
On considère un cylindre de hauteur $h$ et dont la base a pour rayon $r$ (en dm). Ce cylindre doit contenir 5 Litres.
Quelles sont les possibilités ?
11 – C’est dans la boîte, Patron !
Voici le patron d’une boite sans couvercle découpé dans une feuille cartonnée de dimensions 24 x 32 (en cm).
Objectif : Déterminer les dimensions de la boite ayant le plus grand volume.
Vous expliquerez précisément le raisonnement utilisé
12 – Plus tu montes, moins ça compte
Un astronaute pèse $m$ kg sur Terre au niveau de la mer, sa masse apparente (en kg) à l’altitude $h$ (en km) au-dessus du niveau de la mer est donné par :
$$M= m \times \left(\dfrac{6400}{6400+h}\right)^2$$
L’astronaute pèse 70 kg au niveau de la mer.
À quelle hauteur pèsera-t-il moins de 2kg ?
13 – Quel rectangle ?
Un rectangle a un périmètre de 110 m et une aire de 714 m$^2$.
Déterminer les mesures de ses côtés.
Bonus : Trouvez le lien avec l’image ci-contre …
14 – Le phare
Un phare de hauteur 20m est situé à 700m du pied d’une colline. La colline culmine à 500m, sa base mesure 1000m, et on suppose qu’ elle a une forme parabolique.
Quelle est l’altitude du point de la colline le plus élevé que peut éclairer le phare ?
15 – Cote, cote
Un fermier décide de réaliser un espace poulailler rectangulaire le long du mur de sa maison (un côté mur et trois côtés clôture). Il veut offrir à ses poules 300 m$^2$ d’espace.
Comment peut-il placer les piquets pour que la longueur de clôture à acheter soit minimale ?
16 – Objectif : doubler
Une école de commerce vient d’ouvrir et compte 600 étudiants scolarisés. Elle évalue à 7 \% par an la progression de ses effectifs et se fixe comme objectif de les doubler avant 10 ans.
Qu’en pensez-vous ?
17 – Le problème d’Erdős
Problème posé par Erdős au jeune mathématicien Lajos Pòsa au début d’un dîner :
« Étant donné l’ensemble des entiers de 1 à $2n$, et l’un de ses sous ensemble $A$ contenant $n+1$ éléments. Y a-t-il toujours deux éléments de $A$ dont l’un divise l’autre ? »
- Au dessert, Lajos avait la solution… et vous ?
- Présenter une recherche documentée sur le mathématicien Erdõs en quelques lignes. En particulier, on pourra consulter Tangente n°152.
18 – La conjecture de Goldbach
«Tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers.»
Formulée en 1742 par Christian Goldbach, c’est l’un des plus vieux problèmes non résolus de la théorie des nombres et des mathématiques.
- À l’aide de la figure ci-contre (cliquer pour agrandir), vérifier cette conjecture pour tous les nombres entiers inférieurs à 30.
- Exposer une recherche documentée de quelques lignes sur cette conjecture.
19 – Marabout de ficelle
On coupe une ficelle de 32 cm de long en deux morceaux avec lesquels on forme un carré et un triangle équilatéral.
Où doit-on couper la ficelle pour que l’aire totale soit la plus petite possible ?
