D’abord, un peu d’histoire
Taux de variation et Coefficient directeur
Le taux de variation d’une fonction \(f\) entre \(a\) et \(b\) vaut
\[\displaystyle m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
Le taux de variation d’une fonction \(f\) en \(a\) vaut
\[\displaystyle m=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]
(on a remplacé \(b\) par \(a+h\) )
Une droite \((AB)\) a pour équation \(f(x)=mx+p\) ;
\(m\) est le coefficient directeur ; il vaut
\[\displaystyle m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\]
(c’est le taux de variation de \(f\) entre \(x_A\) et \(x_B\) )
Nombre dérivé et tangente
Si \(f\) est une fonction,
\(\mathscr{C}\) sa courbe
et \(A\) est un point de la courbe qui a pour abscisse \(a\).
Alors le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point \(A\)

En pratique
Quizz
Équation de la tangente
Application
Fonction dérivée
En associant à tout nombre $x$ le nombre dérivé $f'(x)$, on construit une fonction appelée fonction dérivée de $f$ et notée $f'(x)$.
Tableau des fonctions dérivées des fonctions de référence
Fonction | Dérivée |
k (constante) | 0 |
$ax+b$ (fct affine) | $a$ |
$x^2$ | $2x$ |
$x^n$ | $nx^{n-1}$ |
$\dfrac{1}{x}$ | $\dfrac{-1}{x^2}$ |
$\dfrac{1}{x^n}$ | $\dfrac{-n}{x^{n+1}}$ |
$\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
Tableau des opérations sur les fonctions dérivées
$u$ et $v$ sont deux fonctions | leurs dérivées sont $u’$ et $v’$ |
$k \times u$ ($k$ est une constante) | $k \times u’$ |
$u+v$ (somme) | $u’+v’$ |
$uv$ (produit) | $u’v+v’u$ (attention ce n’est pas intuitif ! et en plus il y a un plus !) |
$\dfrac{u}{v}$ | $\dfrac{-v’}{v^2}$ (pas intuitif non plus, et il y a un moins) |
$\dfrac{u}{v}$ | $\dfrac{u’v-v’u}{v^2}$ (pas intuitif non plus, et il y a encore un moins) |
$u^n$ | $nu’u^{n-1}$ |
$\sqrt{u}$ | $\dfrac{u’}{2\sqrt{u}}$ |
Exemple : Si $f(x)=x^2(5x-4)$ alors la dérivée est
\begin{align*}
f'(x) & =2x(5x-4)+5 \times x^2 & \text{ avec } &u=x^2 \text{ et } v=5x-4 \\
&=10x^2-8x+5x^2 & &u’=2x \quad v’=5\\
& =15x^2-8x
\end{align*}