D’abord, un peu d’histoire

Taux de variation et Coefficient directeur

Le taux de variation d’une fonction \(f\) entre \(a\) et \(b\) vaut
\[\displaystyle m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
Le taux de variation d’une fonction \(f\) en \(a\) vaut
\[\displaystyle m=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]
(on a remplacé \(b\) par \(a+h\) )

Une droite \((AB)\) a pour équation \(f(x)=mx+p\) ;
\(m\) est le coefficient directeur ; il vaut
\[\displaystyle m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\]
(c’est le taux de variation de \(f\) entre \(x_A\) et \(x_B\) )

Nombre dérivé et tangente

Si \(f\) est une fonction,
\(\mathscr{C}\) sa courbe
et \(A\) est un point de la courbe qui a pour abscisse \(a\).

Alors le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point \(A\)

En pratique

Quizz

Équation de la tangente

Application

Fonction dérivée

En associant à tout nombre $x$ le nombre dérivé $f'(x)$, on construit une fonction appelée fonction dérivée de $f$ et notée $f'(x)$.

Tableau des fonctions dérivées des fonctions de référence

FonctionDérivée
k (constante)0
$ax+b$ (fct affine)$a$
$x^2$$2x$
$x^n$$nx^{n-1}$
$\dfrac{1}{x}$$\dfrac{-1}{x^2}$
$\dfrac{1}{x^n}$$\dfrac{-n}{x^{n+1}}$
$\sqrt{x}$$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Tableau des opérations sur les fonctions dérivées

$u$ et $v$ sont deux fonctionsleurs dérivées sont $u’$ et $v’$
$k \times u$ ($k$ est une constante)$k \times u’$
$u+v$ (somme)$u’+v’$
$uv$ (produit)$u’v+v’u$ (attention ce n’est pas intuitif ! et en plus il y a un plus !)
$\dfrac{u}{v}$$\dfrac{-v’}{v^2}$ (pas intuitif non plus, et il y a un moins)
$\dfrac{u}{v}$$\dfrac{u’v-v’u}{v^2}$ (pas intuitif non plus, et il y a encore un moins)
$u^n$$nu’u^{n-1}$
$\sqrt{u}$$\dfrac{u’}{2\sqrt{u}}$

Exemple : Si $f(x)=x^2(5x-4)$ alors la dérivée est
\begin{align*}
f'(x) & =2x(5x-4)+5 \times x^2 & \text{ avec } &u=x^2 \text{ et } v=5x-4 \\
&=10x^2-8x+5x^2 & &u’=2x \quad v’=5\\
& =15x^2-8x
\end{align*}

Des exemples en vidéo