Suites arithmétiques

Une suite arithmétique de raison $r$ est définie par :

la relation de récurrence $u_{n + 1} = u_{n} + r$
son expression explicite $u_{n} = u_{0} + n r$

Représentation graphique : les points sont alignés.
Ici, la représentation de la suite de premier terme 2 et de raison 0,5 ( $u_{n} = 2 + 0, 5 n$ )

Variations

Si $r$ est positif, la suite est croissante
Si $r$ est négatif, la suite est décroissante

Somme des termes

$1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$

Et pour tout suite arithmétique de raison $r$ :

$u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = (n + 1) \frac{u_{0} + u_{n}}{2}$

$u_{r} + u_{r + 1} + \dots + u_{n} = (n - r + 1) \frac{u_{r} + u_{n}}{2}$

Suites géométriques

Une suite géométrique de raison $q$ est définie par :

la relation de récurrence $u_{n + 1} = u_{n} \times q$
son expression explicite $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$

Représentation graphique : les points ne sont pas alignés.
Ici, la représentation de la suite de premier terme 2 et de raison 0,5 ( $u_{n} = 2 \times 0, 5^{n}$ ).
On verra par la suite que les points suivent une courbe exponentielle.

Variations

Pour une suite géométrique de premier terme $u_{0}$ positif :
Si $q > 1$ , la suite est croissante
Si $0 < q < 1$ , la suite est décroissante

Somme des termes

$1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$

Et pour tout suite géométrique de raison $q$ :

$u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = u_{0} \frac{q^{n + 1} - 1}{q - 1}$

$u_{r} + u_{r + 1} + \dots + u_{n} = u_{r} \frac{q^{n - r + 1} - 1}{q - 1}$