Second degré – JH Maths

Fonction du second degré

Définition :
Une fonction du second degré s’écrit $f (x) = a x^{2} + b x + c$ où $a, b, c$ sont trois nombres donnés.

Exemples :

$x^{2} + 4$ ( $a$ vaut 1, $b$ vaut 0 et $c$ vaut 4)
$3 x^{2} - 2 x + 5$ ( $a$ vaut 3, $b$ vaut -2 et $c$ vaut 5)

La parabole – éléments caractéristiques

Propriété :
Une fonction du second degré $f : x \mapsto a x^{2} + b x + c$
est représentée sous la forme d’une parabole, dont l’orientation dépend du signe de $a$ .
Cette parabole possède un axe de symétrie vertical d’équation $x = - \frac{b}{2 a}$ qui passe par son sommet $S (α; β)$ .

Remarque :
On a donc :
$α = - \frac{b}{2 a}$
$β = f (α)$

Exemples :

avec $a$ négatif (il vaut -3), sommet $S (2; 4)$ et axe de symétrie d’équation $x = 2$
avec (a) positif (il vaut 4), sommet (S(1;1)) et axe de symétrie d’équation (x=1)

Les 2 formes à connaître

Forme canonique $f (x) = a (x - α)^{2} + β$

Utilité :
Le sommet et l’orientation de la courbe permettent de connaître les variations de la fonction.

Forme factorisée (lorsqu’elle existe) : $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

Utilité :
Les racines et l’orientation de la courbe permettent de connaître le signe de la fonction.

Quizz

(P_1), (P_2), (P_3), (P_4) représentent quatre fonctions polynômes de degré 2.