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Fonction du second degré

Définition : Une fonction du second degré s’écrit $f (x) = a x^{2} + b x + c$ où $a, b, c$ sont trois nombres donnés.

Exemples :

$x^{2} + 4$ ( $a$ vaut 1, $b$ vaut 0 et $c$ vaut 4)
$3 x^{2} - 2 x + 5$ ( $a$ vaut 3, $b$ vaut -2 et $c$ vaut 5)

La parabole – éléments caractéristiques

Une fonction du second degré $f : x \mapsto a x^{2} + b x + c$ est représentée sous la forme d’une parabole, dont l’orientation dépend du signe de $a$ .
Cette parabole possède un axe de symétrie vertical qui passe par son sommet.

Exemples :

avec $a$ négatif (il vaut -3), sommet $S (2; 4)$ et axe de symétrie d’équation $x = 2$
avec $a$ positif (il vaut 4), sommet $S (1; 1)$ et axe de symétrie d’équation $x = 1$

Les 3 formes

$f (x) = a x^{2}$

La parabole qui représente $y = a x^{2}$ passe par l’origine et est :

tournée vers le haut si $a$ est positif (courbes bleue et verte)
tournée vers le bas si $a$ est négatif (courbe rouge)

$f (x) = a x^{2} + b$

La parabole qui représente $y = a x^{2} + b$ s’obtient de la précédente par un décalage vertical de $b$ unités

$f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

La parabole qui représente $y = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ coupe l’axe des abscisses aux valeurs $x_{1}$ et $x_{2}$ (appelées racines de la fonction)

Quizz

$P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ , $P_{4}$ représentent quatre fonctions polynômes de degré 2.