[vc_row][vc_column][vc_column_text el_id= »objectif-1″]

Rappels

[/vc_column_text][/vc_column][/vc_row][vc_row content_placement= »middle »][vc_column][vc_column_text el_class= »proprietepremieresthr propriete »]Lors d’une expérience aléatoire, on associe un événement à une quantité (par exemple un gain). La variable X qui représente cette quantité est appelée variable aléatoire.

La probabilité que la variable aléatoire prenne la valeur a s’écrit P(X=a)[/vc_column_text][/vc_column][/vc_row][vc_row content_placement= »middle »][vc_column width= »1/2″][vc_column_text el_class= »proprietepremieresthr propriete »]Exemple

On lance un dé à 20 faces.

Si on fait entre 1 et 10, on marque 5 points ;
si on fait entre 11 et 17 on marque 10 points ;
si on fait 18 ou plus, on marque 15 points.

On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de points marqués.

Le tableau suivant s’appelle al loi de probabilité de X

a	5	10	15
P(X=a)	0,5	0,35	0,15

[/vc_column_text][/vc_column][vc_column width= »1/2″][vc_column_text]

[/vc_column_text][/vc_column][/vc_row][vc_row][vc_column][vc_column_text el_id= »objectif-1″]

Espérance d’une v.a.

\(E(X)=a_1 \times P(X=a_1) + a_2 \times P(X=a_2) + \dots + a_n \times P(X=a_n)\)

[/vc_column_text][vc_column_text el_class= »proprietepremieresthr propriete »]Dans l’exemple précédent, l’espérance vaut

\(E(X)=5 \times 0,5 + 10 \times 0,35 + 15 \times 0,15 = 10,375\)

Cela signifie que sur un grand nombre d’essais, on marque en moyenne 10,375 points par lancer.[/vc_column_text][/vc_column][vc_column width= »1/2″][vc_column_text]

[/vc_column_text][/vc_column][/vc_row][vc_row][vc_column][vc_column_text el_id= »objectif-3″]

Loi binomiale

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Coefficient binomial

[/vc_column_text][/vc_column][/vc_row][vc_row content_placement= »middle »][vc_column width= »1/2″][vc_column_text el_class= »proprietepremieresthr propriete »]Le coefficient binomial \(\displaystyle {n \choose k}\) correspond au nombre de chemin qui passent par \(k\) succès (ou échecs) dans un arbre à \(n\) niveaux

Exemples :

\(\displaystyle {4 \choose 0}=1\)
\(\displaystyle {8 \choose 7}=8\)
\(\displaystyle {5 \choose 2}=10\)

[/vc_column_text][/vc_column][vc_column width= »1/2″][vc_column_text]

[/vc_column_text][/vc_column][/vc_row][vc_row content_placement= »middle »][vc_column][vc_column_text]

Calculer des coefficients binomiaux à l’aide du triangle de Pascal

[/vc_column_text][/vc_column][/vc_row][vc_row content_placement= »middle »][vc_column][vc_column_text]

Calculer une probabilité dans le cas d’une loi binomiale

[/vc_column_text][/vc_column][/vc_row][vc_row content_placement= »middle »][vc_column width= »1/2″][vc_column_text el_class= »proprietepremieresthr propriete »]Lors de la répétition de n expériences suivant le schéma de Bernoulli (Succès \(s\) de probabilité \(p\) ou échec \(\overline{s}\) de probabilité \(1-p\) ), la probabilité d’obtenir \(k\) succès vaut

\(P(X=k) = \displaystyle {n \choose k} \times p^k \times p^{n-k}\)

où \(X\) est la v.a. qui compte le nombre de succès.[/vc_column_text][/vc_column][vc_column width= »1/2″][vc_column_text]

[/vc_column_text][/vc_column][/vc_row][vc_row][vc_column][vc_column_text]

Plan de travail

[/vc_column_text][/vc_column][/vc_row][vc_row][vc_column][vc_single_image source= »external_link » onclick= »img_link_large » img_link_target= »_blank » custom_src= »https://docs.google.com/drawings/d/e/2PACX-1vSKkWaqyfAdA-5-QnZ9H5eEbzor_Q2DETSiqfUWS3h5GzhmAdpHV1r39BzX2aBzuvVxA6PfRGgNK1xG/pub?w=960&h=720″][/vc_column][/vc_row][vc_row][vc_column][vc_column_text]

Synthèse

[/vc_column_text][/vc_column][/vc_row][vc_row][vc_column][vc_single_image source= »external_link » onclick= »img_link_large » img_link_target= »_blank » custom_src= »https://docs.google.com/drawings/d/e/2PACX-1vTUy9V4q691qAjILjiRt6VgiIknHEF_fqsPDRTcK6uX1XfXoUWAESLaicMUenpLz-T49QxOAfSNPO28/pub?w=960&h=720″][/vc_column][/vc_row]