Une fonction du second degré s’écrit \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) où \(a,b,c \) sont trois nombres donnés.
Exemples :
- \(x^3-x\) (\(a\) vaut 1, \(b\) vaut 0, \(c\) vaut -1 et \(d\) vaut 0)
- \(2x^3-x^2+4x+7\) (\(a\) vaut 2, \(b\) vaut -1, \(c\) vaut 4 et \(d\) vaut 7)
L’équation \(x^3=c\) possède une solution, la racine cubique de \(c\), notée \(\sqrt[3]{c}\) (ou \(c^{\frac{1}{3}}\) )
Fonction \(x \mapsto ax^3\) – variations et courbe
La fonctions \(x \mapsto ax^3\) est :
- croissante lorsque \(a\) est positif
- décroissante lorsque \(a\) est négatif
Exemple avec \(a\) négatif (il vaut -3)
Exemple avec \(a\) positif (il vaut 4)
Racines, forme factorisée \(a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\)
Une fonction de degré 3 qui admet 3 racines \(x_1, x_2\) et \(x_3\) (c’est-à-dire que l’équation \(f(x)=0\) possède 3 solutions) s’écrit sous forme factorisée :
\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\)
On utilise alors un tableau de signe pour chaque facteur pour connaître le signe de la fonction \(f\) (voir page 88 du manuel)