On conserve la valeur d’une fraction lorsqu’on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre : \(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{a \times k}{b \times k} \)

Pour ajouter deux fractions, on les réduit au même dénominateur (à l’aide de la propriété précédente).

Pour les multiplier, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : \(\displaystyle \frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{a \times c}{b \times d} \)

Propriétés

Pour tous nombres \(a,b,m,n\) :

\(a^m \times a^n=a^{m+n}\)

\(\displaystyle \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)

\(\displaystyle \left(a^m\right)^n=a^{m \times n}\)

Écriture scientifique

Un nombre est écrit sous forme scientifique lorsqu’il s’écrit \(a \times 10^n\) avec \(1 \leq a < 10\)

Exemples : \(3 \times 10^8\), \(2,81 \times 10^{-9}\)

Contre-exemples :

• \(31 \times 10^5\) (car 31 est trop grand, on devrait écrire \(3,1 \times 10^6\) ),
• \(0,71 \times 10^8\) (car 0,71 est trop petit, on devrait écrire \(7,1 \times 10^7\) )

Définition

La racine carrée d’un nombre positif \(a\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a\)

Propriétés :

Si \(a\) est positif : \(\sqrt{a}^2=a\)

Pour n’importe quel nombre \(a\) : \(\sqrt{a^2}=\mid a \mid \) (NB : \(\mid a \mid\) est la valeur absolue de \(a\), c’est à dire le nombre positif qui a la même partie numérique que \(a\) )

Propriétés :

Pour tous nombres \(a\) et \(b\) :
\(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}\)

En particulier :
\(\sqrt{a^2\times b}=a \times \sqrt{b}\)

(même propriété pour la division)

Attention : c’est faux pour l’addition (prendre par exemple \(a=1\) et \(b=1\) )

Définitions

Pour \(a,b,c\) trois entiers naturels, dans la relation \(a=b \times c\) :

\(a\) est un multiple de \(b\) et de \(c\)

\(b\) et \(c\) sont des diviseurs de \(a\)

Définitions

Un nombre qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même est appelé un nombre premier

Propriété

Le nombre 1 n’est pas un nombre premier